বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Axioms) হলো কিছু মৌলিক নিয়ম বা সূত্র যা বুলিয়ান বীজগণিতে সবসময় সত্য হিসেবে বিবেচিত হয়। এগুলো প্রমাণ করার প্রয়োজন হয় না। এগুলোকে Self-evident truths বা মৌলিক সত্য বলা হয়, কারণ এগুলোর সত্যতা প্রশ্নাতীত।

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধের শ্রেণিবিভাগ:

বুলিয়ান বীজগণিতে ৮টি প্রধান স্বতঃসিদ্ধ সূত্র রয়েছে। এগুলোর সাহায্যে লজিক ফাংশন সহজ করা হয় এবং ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

🔹 ১. পরিচয় সূত্র (Identity Law):

• OR পরিচয় সূত্র:
  $A+0=AA\; +\; 0\; =\; A$A+0=A
  ব্যাখ্যা: যদি কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 0 OR করা হয়, তাহলে ফলাফল সেই ভেরিয়েবলই হবে।

• AND পরিচয় সূত্র:
  $A\cdot 1=AA\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A⋅1=A
  ব্যাখ্যা: যদি কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 1 AND করা হয়, তাহলে ফলাফল সেই ভেরিয়েবলই হবে।

🔹 ২. শূন্য ও এক সূত্র (Null and Unity Law):

• $A+1=1A\; +\; 1\; =\; 1$A+1=1
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 1 OR করলে ফলাফল সর্বদা 1 হয়।

• $A\cdot 0=0A\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$A⋅0=0
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 0 AND করলে ফলাফল সর্বদা 0 হয়।

🔹 ৩. আত্ম-পরিচয় সূত্র (Idempotent Law):

• $A+A=AA\; +\; A\; =\; A$A+A=A

• $A\cdot A=AA\; \backslash cdot\; A\; =\; A$A⋅A=A
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে নিজেকে OR বা AND করলে ফলাফল ঐ ভেরিয়েবলই থাকে।

🔹 ৪. পরস্পর বিপরীত সূত্র (Complement Law):

• $A+A^{\prime }=1A\; +\; A’\; =\; 1$A+A′=1

• $A\cdot A^{\prime }=0A\; \backslash cdot\; A’\; =\; 0$A⋅A′=0
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে তার বিপরীত মান (NOT) OR করলে 1 হয়, AND করলে 0 হয়।

🔹 ৫. ডুয়ালিটি সূত্র (Duality Law):

একটি সূত্র থেকে অপর একটি সূত্র পাওয়া যায় যদি:

• OR (+) পরিবর্তে AND (·) এবং

• 1 পরিবর্তে 0 করে ফেলা হয় এবং উল্টোটা।

উদাহরণ:

• $A+0=AA\; +\; 0\; =\; A$A+0=A এর ডুয়াল হচ্ছে $A\cdot 1=AA\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A⋅1=A

🔹 ৬. কোমিউটেটিভ সূত্র (Commutative Law):

• $A+B=B+AA\; +\; B\; =\; B\; +\; A$A+B=B+A

• $A\cdot B=B\cdot AA\; \backslash cdot\; B\; =\; B\; \backslash cdot\; A$A⋅B=B⋅A
  ব্যাখ্যা: OR বা AND করার ক্ষেত্রে operand-এর বিন্যাস পরিবর্তন করলে ফলাফল একই থাকে।

🔹 ৭. অ্যাসোসিয়েটিভ সূত্র (Associative Law):

• $A+(B+C)=(A+B)+CA\; +\; (B\; +\; C)\; =\; (A\; +\; B)\; +\; C$A+(B+C)=(A+B)+C

• $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot CA\; \backslash cdot\; (B\; \backslash cdot\; C)\; =\; (A\; \backslash cdot\; B)\; \backslash cdot\; C$A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C
  ব্যাখ্যা: একাধিক operand-এর মধ্যে গ্রুপিং কিভাবে করা হচ্ছে, সেটি পরিবর্তন করলেও ফলাফল একই থাকে।

🔹 ৮. ডিস্ট্রিবিউটিভ সূত্র (Distributive Law):

• $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot CA\; \backslash cdot\; (B\; +\; C)\; =\; A\; \backslash cdot\; B\; +\; A\; \backslash cdot\; C$A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C

• $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)A\; +\; (B\; \backslash cdot\; C)\; =\; (A\; +\; B)\; \backslash cdot\; (A\; +\; C)$A+(B⋅C)=(A+B)⋅(A+C)
  ব্যাখ্যা: AND ও OR অপারেশন একে অপরের উপর বিতরণযোগ্য।

✅ উদাহরণ সহ প্রয়োগ:

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ সূত্রগুলো লজিক সার্কিট ডিজাইন ও সরলীকরণে ব্যবহার হয়। যেমন:

যদি কোনো সার্কিটে $A+A\cdot BA\; +\; A\; \backslash cdot\; B$A+A⋅B থাকে, তাহলে Distributive Law ব্যবহার করে এটিকে সরল করে লেখা যায়:

$A+A\cdot B=A(1+B)=A\cdot 1=AA\; +\; A\; \backslash cdot\; B\; =\; A\; (1\; +\; B)\; =\; A\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A+A⋅B=A(1+B)=A⋅1=A

🧮 সারাংশ টেবিল:

🔚 উপসংহার:

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বা সূত্রগুলো বুলিয়ান বীজগণিতের ভিত্তি। এদের সাহায্যে লজিক ফাংশনকে সরল করা যায় এবং ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনকে কার্যকর ও খরচ সাশ্রয়ী করা যায়। তাই এগুলোকে বুঝে নেওয়া ডিজিটাল ইলেকট্রনিকস ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।