ভেক্টরের ডাইভারজেন্স একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা ভেক্টর ক্ষেত্রের আচরণ বোঝাতে সাহায্য করে। সহজ কথায়, ডাইভারজেন্স আমাদের বলে দেয় কোনো নির্দিষ্ট জায়গায় ভেক্টর ক্ষেত্র বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে, ভেতরের দিকে সংকুচিত হচ্ছে, নাকি কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না। এটি একটি স্কেলার রাশি, অর্থাৎ শুধু এর মান আছে, দিক নেই। চলো, এর বৈশিষ্ট্যগুলো সহজভাবে বোঝার চেষ্টা করি, যেন তুমি পাঠ্যবই পড়ার মতো সহজে ধরতে পারো।

১. ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার রাশি

• ডাইভারজেন্স কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে গণনা করা হলেও এটি স্কেলার। অর্থাৎ, এর শুধু মান থাকে, কোনো দিক থাকে না।
• উদাহরণ: ধরো, একটি ভেক্টর ক্ষেত্র F = (Fₓ, Fᵧ, F₂)। এর ডাইভারজেন্স নির্ণয় করতে আমরা লিখি: $ডাইভারজেন্স=\frac{\mathrm{\partial }{F}_x}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }{F}_y}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }{F}_z}{\mathrm{\partial }z}\backslash text\{ডাইভারজেন্স\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_x\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_y\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_z\}\{\backslash partial\; z\}$ডাইভারজেন্স=∂x∂Fx​​+∂y∂Fy​​+∂z∂Fz​​ এখানে ফলাফলটি একটি সংখ্যা (স্কেলার), যেমন ৫ বা -৩, কিন্তু কোনো দিক নেই।

সহজ উদাহরণ: তুমি যদি একটি পানির পাইপের প্রবাহ মাপো, তবে ডাইভারজেন্স বলে দেবে কতটা পানি বেরোচ্ছে বা ঢুকছে, কিন্তু কোন দিকে যাচ্ছে তা বলবে না।

২. প্রবাহের পরিমাণ বোঝায়

• ডাইভারজেন্স আমাদের বলে দেয় কোনো বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র কীভাবে প্রবাহিত হচ্ছে। এটি তিন ধরনের হতে পারে:
  • ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (div F > 0): যদি ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হয়, তবে ওই বিন্দু থেকে ভেক্টর ক্ষেত্র বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে। এটিকে বলা হয় উৎস (source)।
    উদাহরণ: একটি ফোয়ারা থেকে পানি চারদিকে ছড়িয়ে পড়ছে। এখানে ডাইভারজেন্স ধনাত্মক।
  • ঋণাত্মক ডাইভারজেন্স (div F < 0): যদি ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক হয়, তবে ভেক্টর ক্ষেত্র ভেতরের দিকে সংকুচিত হচ্ছে। এটিকে বলা হয় গর্ত (sink)।
    উদাহরণ: একটি ড্রেনে পানি ঢুকে যাচ্ছে। এখানে ডাইভারজেন্স ঋণাত্মক।
  • শূন্য ডাইভারজেন্স (div F = 0): যদি ডাইভারজেন্স শূন্য হয়, তবে ওই বিন্দুতে কোনো নেট প্রবাহ নেই। অর্থাৎ, যতটা ভেক্টর ক্ষেত্র ঢুকছে, ততটাই বেরোচ্ছে।
    উদাহরণ: একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে স্থিরভাবে পানি প্রবাহিত হচ্ছে।

সহজ কথায়: ডাইভারজেন্স হলো একটি বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের “আসা-যাওয়ার হিসাব”।

৩. জ্যামিতিক অর্থ

• ডাইভারজেন্স কোনো বিন্দুর চারপাশে একটি খুব ছোট আয়তনের মধ্যে ভেক্টর ক্ষেত্রের নেট প্রবাহ (net flux) পরিমাপ করে।
• পাঠ্যবইয়ে গাউসের উপপাদ্যে দেখানো হয় যে, কোনো বন্ধ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্রের মোট প্রবাহ ওই পৃষ্ঠের ভেতরে ডাইভারজেন্সের সমষ্টির সমান। সহজভাবে: $মোট ফ্লাক্স=ডাইভারজেন্সের সমষ্টি\backslash text\{মোট\; ফ্লাক্স\}\; =\; \backslash text\{ডাইভারজেন্সের\; সমষ্টি\}$মোট ফ্লাক্স=ডাইভারজেন্সের সমষ্টি

উদাহরণ: ধরো, তুমি একটি বেলুনের ভেতরে বাতাস ভরছো। বেলুনের পৃষ্ঠ দিয়ে বাতাসের প্রবাহ ডাইভারজেন্সের মাধ্যমে বোঝা যায়।

৪. রৈখিক বৈশিষ্ট্য

• ডাইভারজেন্স একটি রৈখিক অপারেটর। এর মানে হলো:
  • যদি দুটি ভেক্টর ক্ষেত্র F এবং G থাকে, তবে: $div (F + G)=div F+div G\backslash text\{div\; (F\; +\; G)\}\; =\; \backslash text\{div\; F\}\; +\; \backslash text\{div\; G\}$div (F + G)=div F+div G অর্থাৎ, দুটি ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স আলাদাভাবে যোগ করলে মোট ডাইভারজেন্স পাওয়া যায়।
  • যদি কোনো ধ্রুবক c দিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্রকে গুণ করা হয়, তবে: $div (cF)=c\cdot div F\backslash text\{div\; (cF)\}\; =\; c\; \backslash cdot\; \backslash text\{div\; F\}$div (cF)=c⋅div F

সহজ কথায়: ডাইভারজেন্স গণনা করার সময় তুমি ভেক্টর ক্ষেত্রগুলোকে আলাদা আলাদা করে হিসাব করতে পারো, এবং ফলাফল একই হবে।

৫. ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রকৃতির ওপর নির্ভরশীল

• ডাইভারজেন্স ভেক্টর ক্ষেত্রের ধরনের ওপর নির্ভর করে। যেমন:
  • যদি ভেক্টর ক্ষেত্র ধ্রুবক হয় (যেমন, F = (2, 3, 4)), তবে ডাইভারজেন্স শূন্য হবে। কারণ, ধ্রুবক ক্ষেত্রের আংশিক অবকলন শূন্য।
  • যদি ভেক্টর ক্ষেত্র রেডিয়াল হয় (যেমন, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র), তবে ডাইভারজেন্স উৎস বা চার্জের উপস্থিতি নির্দেশ করতে পারে।

উদাহরণ: ধরো, F = (x, y, z)। এর ডাইভারজেন্স হবে:

$div F=\frac{\mathrm{\partial }x}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }z}=1+1+1=3\backslash text\{div\; F\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; z\}\; =\; 1\; +\; 1\; +\; 1\; =\; 3$div F=∂x∂x​+∂y∂y​+∂z∂z​=1+1+1=3

এখানে ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (৩) মানে ক্ষেত্রটি সব জায়গায় বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে।

৬. বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• তরল প্রবাহ: পানির পাইপ বা নদীর প্রবাহে ডাইভারজেন্স ব্যবহার করে বোঝা যায় কোথায় পানি জমছে বা বেরিয়ে যাচ্ছে।
• বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র: বৈদ্যুতিক চার্জের কারণে ক্ষেত্র কীভাবে ছড়িয়ে পড়ছে, তা ডাইভারজেন্স দিয়ে বোঝা যায় (গাউসের সূত্র)।
• তাপ প্রবাহ: কোনো বস্তুতে তাপ কীভাবে ছড়িয়ে পড়ছে বা জমছে, তা ডাইভারজেন্স দিয়ে পরিমাপ করা যায়।

উদাহরণ: তুমি যদি একটি ঘরে হিটার জ্বালাও, তবে হিটার থেকে তাপ বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়বে। এখানে তাপের ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হবে।

সহজ উপসংহার

ডাইভারজেন্স হলো ভেক্টর ক্ষেত্রের একটি “প্রবাহ মাপার যন্ত্র”। এটি আমাদের বলে দেয় কোনো জায়গায় ভেক্টর ক্ষেত্র বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে (উৎস), ভেতরে ঢুকছে (গর্ত), নাকি কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না। এর মূল বৈশিষ্ট্য হলো:

• এটি স্কেলার।
• এটি প্রবাহের পরিমাণ মাপে।
• এটি জ্যামিতিকভাবে ফ্লাক্সের সাথে সম্পর্কিত।
• এটি রৈখিক এবং ক্ষেত্রের প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে।
• এটি পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

মনে রাখো: ডাইভারজেন্স যেন একটা ম্যাজিক টুল, যা ভেক্টর ক্ষেত্রের গোপন আচরণ ধরিয়ে দেয়! তুমি যদি পানির প্রবাহ বা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র নিয়ে ভাবো, তবে ডাইভারজেন্স তোমাকে সহজে বুঝিয়ে দেবে কী ঘটছে।