ধ্রুবক (Constant) বলতে এমন একটি পরিমাণ বোঝায়, যা কোনো নির্দিষ্ট পরিসরে অপরিবর্তিত থাকে এবং এর মান কখনো পরিবর্তিত হয় না। কম্পিউটার বিজ্ঞান ও তথ্য প্রযুক্তি (আইসিটি) বইয়ের ধারণায়, ধ্রুবক এমন একটি মান, যা প্রোগ্রামিং ভাষা বা গাণিতিক সূত্রে ব্যবহৃত হলে তার মান একটি নির্দিষ্ট স্থানে একে অপরের সমান থাকে।

ধ্রুবক দুটি ধরনের হতে পারে:

1. সংখ্যাগত ধ্রুবক: যেমন, ৩.১৪১ (π), যা বৃত্তের পরিসীমা ও ব্যাসের অনুপাত নির্দেশ করে এবং এর মান কখনো পরিবর্তিত হয় না।

2. বৈশিষ্টিক ধ্রুবক: যেমন, গ (গুরুত্বজনক গতির ধ্রুবক), যার মান পৃথিবীর পৃষ্ঠে ৯.৮ মিটার/সেকেন্ড²।

ধ্রুবক সাধারণত প্রোগ্রামিং বা গণনা ক্ষেত্রে ব্যবহার হয়, যেখানে মানটি পরিবর্তন না হয়ে নির্দিষ্ট থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা কোনো প্রোগ্রামে π ব্যবহার করি, তবে তার মান সবসময় ৩.১৪১৬ থাকবে।

আইসিটি প্রোগ্রামিংয়ে ধ্রুবক ব্যবহারের উদ্দেশ্য হলো এমন কিছু মান প্রদান করা যা প্রোগ্রামে বা গাণিতিক মডেলে পরিবর্তনশীল নয় এবং যে কারণে ব্যবহারকারীরা বা প্রোগ্রামটি নির্ভুলভাবে নির্দিষ্ট মানের ওপর নির্ভর করতে পারে।

সংখ্যা পদ্ধতির বেস (Base of a Number System):

সংখ্যা পদ্ধতির বেস (বা ভিত্তি) হল একটি সংখ্যাসমূহের গঠন পদ্ধতি, যা নির্ধারণ করে কিভাবে সংখ্যাগুলি কৃত্রিম বা প্রকৃত অঙ্কের সাহায্যে প্রকাশ করা হবে। প্রতিটি সংখ্যা পদ্ধতির মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা থাকে যা অঙ্কগুলির পরিমাণ সীমাবদ্ধ করে এবং সেই পরিমাণে সংখ্যাগুলি গঠিত হয়।

এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, কারণ কোনো সংখ্যাকে সঠিকভাবে বুঝতে বা রূপান্তর করতে হলে, তার পদ্ধতি এবং বেস সম্পর্কে ভাল ধারণা থাকা প্রয়োজন।

সংখ্যা পদ্ধতির বেসের ধারণা:

বেস সাধারণভাবে একটি মৌলিক সংখ্যা বা সংখ্যা পদ্ধতির গঠনগত ভিত্তি যা নির্ধারণ করে কতগুলো আলাদা অঙ্ক (Digits) ব্যবহার করা যাবে। এই বেসের উপরে ভিত্তি করে সংখ্যা গঠন করা হয়। আমরা সাধারণত বেস সংখ্যা হিসেবে এর মান নির্ধারণ করি, যেমন ১০ (দশমিক), ২ (বাইনারি), ৮ (অকটাল), ১৬ (হেক্সাডেসিমাল) ইত্যাদি।

একটি সংখ্যা পদ্ধতিতে, সংখ্যা গঠন প্রক্রিয়া হল সংখ্যার প্রত্যেকটি অঙ্কের মান ওই পদ্ধতির বেসের উপর নির্ভরশীল।

বেস কিভাবে কাজ করে?

ধরা যাক, আমাদের একটি সংখ্যা আছে: N = (a_n * b^n) + (a_(n-1) * b^(n-1)) + ... + (a_1 * b^1) + (a_0 * b^0), যেখানে:

• b হলো বেস (যেমন ২, ১০, ৮, ১৬)

• a_n, a_(n-1), ..., a_0 হলো সংখ্যা পদ্ধতির অঙ্কগুলি।

• এখানে প্রতিটি অঙ্ক a_i এর মান তার স্থানীয় অবস্থান অনুযায়ী গুণ করা হয় বেসের পাওয়ার দ্বারা (যেমন b^0, b^1, b^2, …)।

অথবা সহজ ভাষায়, সংখ্যা গঠন করার জন্য একটি নির্দিষ্ট পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়, যেখানে বেসের যোগফলে সংখ্যা গঠিত হয়।

বিভিন্ন সংখ্যা পদ্ধতির বেস:

1. দশমিক (Decimal) সংখ্যা পদ্ধতি (বেস ১০):
   দশমিক পদ্ধতিতে ১০টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয় (০ থেকে ৯)। এটি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত সংখ্যা পদ্ধতি।
   উদাহরণ: 276 এর মান হবে:

   $2\times {10}^2+7\times {10}^1+6\times {10}^0=200+70+6=2762\; \backslash times\; 10^2\; +\; 7\; \backslash times\; 10^1\; +\; 6\; \backslash times\; 10^0\; =\; 200\; +\; 70\; +\; 6\; =\; 276$2×102+7×101+6×100=200+70+6=276

   অর্থাৎ, ২ শত, ৭ দশক এবং ৬ একক।

2. বাইনারি (Binary) সংখ্যা পদ্ধতি (বেস ২):
   বাইনারি পদ্ধতিতে মাত্র ২টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়: ০ এবং ১। এটি কম্পিউটারে গাণিতিক অপারেশন বা সংখ্যা স্টোরেজের জন্য ব্যবহার করা হয়। উদাহরণ: 1101 এর মান হবে:

   $1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=8+4+0+1=131\; \backslash times\; 2^3\; +\; 1\; \backslash times\; 2^2\; +\; 0\; \backslash times\; 2^1\; +\; 1\; \backslash times\; 2^0\; =\; 8\; +\; 4\; +\; 0\; +\; 1\; =\; 13$1×23+1×22+0×21+1×20=8+4+0+1=13

   অর্থাৎ, বাইনারি 1101 দশমিক সংখ্যায় ১৩।

3. অকটাল (Octal) সংখ্যা পদ্ধতি (বেস ৮):
   অকটাল পদ্ধতিতে ৮টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়: ০ থেকে ৭। এটি সাধারণত কম্পিউটারের কম্পিউটেশনাল অপারেশন বা কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণ: 374 এর মান হবে:

   $3\times 8^2+7\times 8^1+4\times 8^0=192+56+4=2523\; \backslash times\; 8^2\; +\; 7\; \backslash times\; 8^1\; +\; 4\; \backslash times\; 8^0\; =\; 192\; +\; 56\; +\; 4\; =\; 252$3×82+7×81+4×80=192+56+4=252

   অর্থাৎ, অকটাল 374 দশমিক সংখ্যায় ২৫২।

4. হেক্সাডেসিমাল (Hexadecimal) সংখ্যা পদ্ধতি (বেস ১৬):
   হেক্সাডেসিমাল পদ্ধতিতে ১৬টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়: ০ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা এবং A থেকে F পর্যন্ত অক্ষর (যেখানে A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)। উদাহরণ: 2F3 এর মান হবে:

   $2\times {16}^2+15\times {16}^1+3\times {16}^0=512+240+3=7552\; \backslash times\; 16^2\; +\; 15\; \backslash times\; 16^1\; +\; 3\; \backslash times\; 16^0\; =\; 512\; +\; 240\; +\; 3\; =\; 755$2×162+15×161+3×160=512+240+3=755

   অর্থাৎ, হেক্সাডেসিমাল 2F3 দশমিক সংখ্যায় ৭৫৫।

বেসের প্রভাব:

সংখ্যা পদ্ধতির বেস শুধুমাত্র সংখ্যার গঠন প্রক্রিয়া প্রভাবিত করে না, বরং এটি গাণিতিক অপারেশন, ম্যাথমেটিক্যাল রূপান্তর এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানে নানা গুরুত্বপূর্ণ কার্যাবলী পরিচালনা করে।
যেমন:

• কনভার্শন (Conversion): এক বেস থেকে অন্য বেসে সংখ্যা রূপান্তর করা। উদাহরণস্বরূপ, বাইনারি সংখ্যা থেকে দশমিক সংখ্যা বা হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারি রূপান্তর।

• গাণিতিক অপারেশন: যেমন যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ, যা বেসের উপর ভিত্তি করে ভিন্ন ভিন্নভাবে কাজ করতে পারে। কম্পিউটারের জন্য বাইনারি গাণিতিক অপারেশন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

• কম্পিউটার প্রসেসিং: কম্পিউটার শুধুমাত্র বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করে। এখানে তথ্য প্রক্রিয়াকরণ, মেমরি স্টোরেজ, ডেটা ট্রান্সফার সবই বাইনারি গাণিতিক কৌশলের মাধ্যমে সম্পন্ন হয়।

বেস পরিবর্তন ও রূপান্তর:

একটি সংখ্যা পদ্ধতি থেকে অন্য পদ্ধতিতে রূপান্তর করার সময়, বেসের কার্যকরী রূপান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করতে হয়।

বাইনারি থেকে দশমিক রূপান্তর:
প্রতিটি বাইনারি অঙ্কের অবস্থান (পাওয়ার অফ ২) অনুযায়ী তাদের গুণফল যোগ করা হয়।

দশমিক থেকে বাইনারি রূপান্তর:
দশমিক সংখ্যা দুটি ভাগে ভাগ করে তার ভাগফল দ্বারা গুনফল জমা করা হয়।

হেক্সাডেসিমাল থেকে বাইনারি রূপান্তর:
প্রতিটি হেক্সাডেসিমাল অঙ্ককে বাইনারিতে রূপান্তর করা হয়, এবং পরবর্তীতে একে একত্রিত করা হয়।

উপসংহার:

সংখ্যা পদ্ধতির বেস হচ্ছে গণনা বা ডেটার গঠন এবং প্রসেসিং এর একটি অত্যন্ত মৌলিক এবং গুরুত্বপূর্ণ দিক। এটি শুধুমাত্র সংখ্যাগুলি কীভাবে প্রদর্শিত হবে তা নির্ধারণ করে না, বরং আমাদের গাণিতিক অপারেশন, প্রোগ্রামিং, এবং কম্পিউটেশনাল কৌশলগুলোকে আরও কার্যকর ও দক্ষ করে তোলে। বেসের এই ধারণা বুঝে আমরা কেবল সঠিকভাবে সংখ্যাগুলি গঠন বা রূপান্তর করতে পারি না, বরং ডিজিটাল বিশ্বের একটি গভীরতর বোধ এবং প্রক্রিয়া উপলব্ধি করতে পারি।

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ (Boolean Axioms) হলো কিছু মৌলিক নিয়ম বা সূত্র যা বুলিয়ান বীজগণিতে সবসময় সত্য হিসেবে বিবেচিত হয়। এগুলো প্রমাণ করার প্রয়োজন হয় না। এগুলোকে Self-evident truths বা মৌলিক সত্য বলা হয়, কারণ এগুলোর সত্যতা প্রশ্নাতীত।

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধের শ্রেণিবিভাগ:

বুলিয়ান বীজগণিতে ৮টি প্রধান স্বতঃসিদ্ধ সূত্র রয়েছে। এগুলোর সাহায্যে লজিক ফাংশন সহজ করা হয় এবং ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

🔹 ১. পরিচয় সূত্র (Identity Law):

• OR পরিচয় সূত্র:
  $A+0=AA\; +\; 0\; =\; A$A+0=A
  ব্যাখ্যা: যদি কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 0 OR করা হয়, তাহলে ফলাফল সেই ভেরিয়েবলই হবে।

• AND পরিচয় সূত্র:
  $A\cdot 1=AA\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A⋅1=A
  ব্যাখ্যা: যদি কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 1 AND করা হয়, তাহলে ফলাফল সেই ভেরিয়েবলই হবে।

🔹 ২. শূন্য ও এক সূত্র (Null and Unity Law):

• $A+1=1A\; +\; 1\; =\; 1$A+1=1
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 1 OR করলে ফলাফল সর্বদা 1 হয়।

• $A\cdot 0=0A\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$A⋅0=0
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে 0 AND করলে ফলাফল সর্বদা 0 হয়।

🔹 ৩. আত্ম-পরিচয় সূত্র (Idempotent Law):

• $A+A=AA\; +\; A\; =\; A$A+A=A

• $A\cdot A=AA\; \backslash cdot\; A\; =\; A$A⋅A=A
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে নিজেকে OR বা AND করলে ফলাফল ঐ ভেরিয়েবলই থাকে।

🔹 ৪. পরস্পর বিপরীত সূত্র (Complement Law):

• $A+A^{\prime }=1A\; +\; A’\; =\; 1$A+A′=1

• $A\cdot A^{\prime }=0A\; \backslash cdot\; A’\; =\; 0$A⋅A′=0
  ব্যাখ্যা: কোনো ভেরিয়েবলের সাথে তার বিপরীত মান (NOT) OR করলে 1 হয়, AND করলে 0 হয়।

🔹 ৫. ডুয়ালিটি সূত্র (Duality Law):

একটি সূত্র থেকে অপর একটি সূত্র পাওয়া যায় যদি:

• OR (+) পরিবর্তে AND (·) এবং

• 1 পরিবর্তে 0 করে ফেলা হয় এবং উল্টোটা।

উদাহরণ:

• $A+0=AA\; +\; 0\; =\; A$A+0=A এর ডুয়াল হচ্ছে $A\cdot 1=AA\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A⋅1=A

🔹 ৬. কোমিউটেটিভ সূত্র (Commutative Law):

• $A+B=B+AA\; +\; B\; =\; B\; +\; A$A+B=B+A

• $A\cdot B=B\cdot AA\; \backslash cdot\; B\; =\; B\; \backslash cdot\; A$A⋅B=B⋅A
  ব্যাখ্যা: OR বা AND করার ক্ষেত্রে operand-এর বিন্যাস পরিবর্তন করলে ফলাফল একই থাকে।

🔹 ৭. অ্যাসোসিয়েটিভ সূত্র (Associative Law):

• $A+(B+C)=(A+B)+CA\; +\; (B\; +\; C)\; =\; (A\; +\; B)\; +\; C$A+(B+C)=(A+B)+C

• $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot CA\; \backslash cdot\; (B\; \backslash cdot\; C)\; =\; (A\; \backslash cdot\; B)\; \backslash cdot\; C$A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C
  ব্যাখ্যা: একাধিক operand-এর মধ্যে গ্রুপিং কিভাবে করা হচ্ছে, সেটি পরিবর্তন করলেও ফলাফল একই থাকে।

🔹 ৮. ডিস্ট্রিবিউটিভ সূত্র (Distributive Law):

• $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot CA\; \backslash cdot\; (B\; +\; C)\; =\; A\; \backslash cdot\; B\; +\; A\; \backslash cdot\; C$A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C

• $A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)A\; +\; (B\; \backslash cdot\; C)\; =\; (A\; +\; B)\; \backslash cdot\; (A\; +\; C)$A+(B⋅C)=(A+B)⋅(A+C)
  ব্যাখ্যা: AND ও OR অপারেশন একে অপরের উপর বিতরণযোগ্য।

✅ উদাহরণ সহ প্রয়োগ:

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ সূত্রগুলো লজিক সার্কিট ডিজাইন ও সরলীকরণে ব্যবহার হয়। যেমন:

যদি কোনো সার্কিটে $A+A\cdot BA\; +\; A\; \backslash cdot\; B$A+A⋅B থাকে, তাহলে Distributive Law ব্যবহার করে এটিকে সরল করে লেখা যায়:

$A+A\cdot B=A(1+B)=A\cdot 1=AA\; +\; A\; \backslash cdot\; B\; =\; A\; (1\; +\; B)\; =\; A\; \backslash cdot\; 1\; =\; A$A+A⋅B=A(1+B)=A⋅1=A

🧮 সারাংশ টেবিল:

🔚 উপসংহার:

বুলিয়ান স্বতঃসিদ্ধ বা সূত্রগুলো বুলিয়ান বীজগণিতের ভিত্তি। এদের সাহায্যে লজিক ফাংশনকে সরল করা যায় এবং ডিজিটাল সার্কিট ডিজাইনকে কার্যকর ও খরচ সাশ্রয়ী করা যায়। তাই এগুলোকে বুঝে নেওয়া ডিজিটাল ইলেকট্রনিকস ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।