আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে?
Share
Join ProshnoUttor today! Ask, answer, and share knowledge—earn points, revenue, and rewards while learning with a global community. Sign up now and start your journey!
Welcome back to ProshnoUttor! Log in to explore, contribute, and earn rewards while learning with our global community. Let’s get started!
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Please briefly explain why you feel this answer should be reported.
Please briefly explain why you feel this user should be reported.
যে ভেক্টরের মান (magnitude) ১ এবং একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করে, তাকে আয়ত একক ভেক্টর বা ইউনিট ভেক্টর (Unit Vector) বলা হয়।
যেকোনো ভেক্টরের দিক অপরিবর্তিত রেখে তাকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যায়, সেটিই হলো আয়ত একক ভেক্টর।
আয়ত একক ভেক্টর নির্ণয়ের সূত্র:
ধরা যাক, A একটি ভেক্টর। তাহলে A এর আয়ত একক ভেক্টর হবে:
 = A ÷ |A|
এখানে,
 = A ভেক্টরের আয়ত একক ভেক্টর
A = মূল ভেক্টর
|A| = A ভেক্টরের মান (magnitude)
উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি বস্তুর বেগের ভেক্টর A = 5i + 12j
এখানে, A এর মান |A| = √(5² + 12²) = √169 = 13
তাহলে A এর আয়ত একক ভেক্টর হবে:
 = (5i + 12j) ÷ 13 = (5/13)i + (12/13)j
গুরুত্ব:
আয়ত একক ভেক্টর কোনো ভৌত রাশি নির্দেশ করার সময় কেবল দিক বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
এর মাধ্যমে ভেক্টরের দিক ও দিকসংক্রান্ত বিশ্লেষণ সহজ হয়।
ভেক্টরের দিক নির্ধারণে আয়ত একক ভেক্টর গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।
যেকোন ভেক্টরের মান ১ এবং একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করে — এমন ভেক্টরকে আয়ত একক ভেক্টর (Unit Vector) বলে।
অর্থাৎ, একটি ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করলে যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যায়, সেটিই হচ্ছে আয়ত একক ভেক্টর।
উদাহরণ:
ধরা যাক, Â একটি ভেক্টর, তাহলে এর আয়ত একক ভেক্টর হবে:
এখানে, Â ভেক্টরটির দিক অপরিবর্তিত থাকে, কেবল মান হয় ১।
আয়ত একক ভেক্টর হলো একটি ভেক্টর যার মাত্রা বা পরিমাণ 1 একক। এটি একটি মানদণ্ড বা রেফারেন্স হিসেবে ব্যবহার করা হয় অন্যান্য ভেক্টরের তুলনা করার জন্য।
আয়ত একক ভেক্টরকে সাধারণত একটি ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেমন: i, j, k ইত্যাদি। এই ভেক্টরগুলোকে একটি ত্রি-মাত্রিক স্থানের মধ্যে একটি দিক নির্দেশ করার জন্য ব্যবহার করা হয়।
আয়ত একক ভেক্টরের কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
আয়ত একক ভেক্টরের কিছু উদাহরণ হলো:
আয়ত একক ভেক্টর ব্যবহার করা হয় বিভিন্ন গাণিতিক এবং পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যায়, যেমন:
আয়ত একক ভেক্টর ব্যবহার করে আমরা বিভিন্ন জ্যামিতিক এবং পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যায় সমাধান করতে পারি। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়।
আয়ত একক ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর, যার মান সবসময় ১ (একক) এবং এটি একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করে। ভেক্টর হলো এমন একটি রাশি, যার মান এবং দিক উভয়ই থাকে। আয়ত একক ভেক্টরগুলো সাধারণত স্থানাঙ্ক পদ্ধতি (Cartesian Coordinate System) ব্যবহার করে কোনো ভেক্টরকে প্রকাশ করতে সাহায্য করে। এরা হলো এক ধরনের “মানদণ্ড” বা “মৌলিক দিক নির্দেশক”, যার মাধ্যমে আমরা যেকোনো ভেক্টরকে তার উপাদানগুলোর মাধ্যমে বোঝাতে পারি।
ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কে আয়ত একক ভেক্টর
ত্রিমাত্রিক স্থানে (x, y, z অক্ষ বিশিষ্ট) তিনটি আয়ত একক ভেক্টর রয়েছে:
এই তিনটি একক ভেক্টর পরস্পরের সাথে লম্ব (orthogonal), অর্থাৎ তাদের মধ্যে কোণ ৯০ ডিগ্রি। এদের মান সবসময় ১ হওয়ায় এরা “একক” ভেক্টর নামে পরিচিত।
কেন এগুলো গুরুত্বপূর্ণ?
আয়ত একক ভেক্টর ব্যবহার করে আমরা যেকোনো ভেক্টরকে তার উপাদান (components) হিসেবে প্রকাশ করতে পারি। ধরা যাক, একটি ভেক্টর A আছে। ত্রিমাত্রিক স্থানে এটিকে নিচের মতো লেখা যায়:
A = aî + bĵ + ck̂
এখানে:
উদাহরণ: যদি একটি ভেক্টর A = 3î + 4ĵ + 5k̂ হয়, তাহলে এর মানে হলো ভেক্টরটি x-অক্ষ বরাবর ৩ একক, y-অক্ষ বরাবর ৪ একক এবং z-অক্ষ বরাবর ৫ একক দূরত্বে অগ্রসর হচ্ছে।
দ্বিমাত্রিক স্থানে আয়ত একক ভেক্টর
দ্বিমাত্রিক স্থানে (শুধু x এবং y অক্ষ) শুধুমাত্র î এবং ĵ ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভেক্টর B = 2î + 3ĵ মানে এটি x-অক্ষ বরাবর ২ একক এবং y-অক্ষ বরাবর ৩ একক দূরত্বে অগ্রসর হচ্ছে।
বাস্তব জীবনের উদাহরণ
ধরা যাক, তুমি একটি গাড়ি চালাচ্ছ। তুমি পূর্ব দিকে ৩ কিমি এবং উত্তর দিকে ৪ কিমি যাও। এখন তোমার মোট স্থানচ্যুতি একটি ভেক্টর। এটিকে আয়ত একক ভেক্টর দিয়ে প্রকাশ করলে:
তোমার স্থানচ্যুতি ভেক্টর হবে: S = 3î + 4ĵ
এখানে î এবং ĵ হলো আয়ত একক ভেক্টর, যারা শুধু দিক নির্দেশ করছে।
বৈশিষ্ট্য
উপসংহার
আয়ত একক ভেক্টর হলো পদার্থবিজ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা ভেক্টরকে সহজে বোঝাতে এবং গণনা করতে সাহায্য করে। এরা স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে x, y, z অক্ষের দিক নির্দেশ করে এবং তাদের মান সবসময় ১ থাকে। এদের সাহায্যে আমরা জটিল ভেক্টরগুলোকে সহজ উপাদানে ভাগ করে বিশ্লেষণ করতে পারি।
মনে রাখো: আয়ত একক ভেক্টর (î, ĵ, k̂) হলো দিক নির্দেশক, আর তাদের সাথে যোগ করা সংখ্যা (যেমন a, b, c) নির্দেশ করে ভেক্টরটি কতটা বড় বা কত দূরত্বে অগ্রসর হচ্ছে।
যে ভেক্টরের মান (magnitude) ১ এবং একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করে, তাকে আয়ত একক ভেক্টর বা Unit Vector বলে।
একটি ভেক্টরের শুধু দিক (direction) রাখার জন্য যখন তার মানকে ১ করা হয়, তখন যে নতুন ভেক্টরটি পাওয়া যায়, সেটাই আয়ত একক ভেক্টর। এটি কোনো ভৌত রাশির পরিমাণ বোঝায় না, শুধু তার দিক বোঝায়।
আয়ত একক ভেক্টর নির্ণয়ের পদ্ধতি:
ধরা যাক, A একটি ভেক্টর। তাহলে A এর আয়ত একক ভেক্টর বের করতে হয় এইভাবে:
 = A ÷ |A|
এখানে,
 = A ভেক্টরের আয়ত একক ভেক্টর
A = মূল ভেক্টর
|A| = A ভেক্টরের মান বা দৈর্ঘ্য
এই সূত্রে মূল ভেক্টরকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন ভেক্টর পাওয়া যায়, তার মান হয় ১ এবং তা মূল ভেক্টরের দিকেই নির্দেশ করে।
উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি ভেক্টর A = 6i + 8j
তাহলে,
A এর মান |A| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
তাহলে আয়ত একক ভেক্টর:
 = (6i + 8j) ÷ 10 = (6/10)i + (8/10)j = 0.6i + 0.8j
এই নতুন ভেক্টরের মান ১, এবং এটি মূল ভেক্টরের দিকেই নির্দেশ করছে।
আয়ত একক ভেক্টরের গুরুত্ব:
এটি কোনো ভেক্টরের দিক নির্ধারণে সহায়তা করে।
ভেক্টর বিশ্লেষণ বা ভেক্টরের গাণিতিক কাজে এটি ব্যবহার করা হয়।
বিভিন্ন ভৌত রাশির (যেমন: বেগ, বল, ত্বরণ) দিক বোঝাতে এটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা (পরীক্ষার জন্য):
যে ভেক্টরের মান ১ এবং একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দেশ করে, তাকে আয়ত একক ভেক্টর বলে।